درسنامه آموزشی فصل سوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 2: معیارهای گرایش به مرکز
فعالیت (صفحۀ 84 کتاب درسی)
در یک باغ، برای تعیین میزان محصولات گردو، چهار نوع درخت گردو وجود دارد که میزان محصولات انواع گردوها برحسب تعداد به شرح زیر است:
| نوع گردو | گردوی نوع اوّل | گردوی نوع دوم | گردوی نوع سوم | گردوی نوع چهارم |
|---|---|---|---|---|
| میزان محصول گردو (تعداد) | 5000 | 2500 | 35000 | 1000 |
الف) میانگین تعداد گردوی تولید شده برای این چهار نوع درخت چه تعداد است؟
حال اگر علاوه بر داشتن اطلاعات میزان تولید گردو برای هر نوع درخت گردو، تعداد درختهای باغ مطابق جدول زیر مشخص شده باشند:
| نوع | گردوی نوع اول | گردوی نوع دوم | گردوی نوع سوم | گردوی نوع چهارم |
|---|---|---|---|---|
| میزان محصول گردو برای هر درخت (تعداد) | 5000 | 2500 | 35000 | 1000 |
| تعداد درختها | 10 | 5 | 7 | 3 |
ب) آیا میتوان میانگین تعداد گردوی تولید شده در قسمت (الف) را در این حالت بهعنوان میانگین گردوی تولید شده برای این چهار نوع درخت گردو در نظر گرفت؟
پ) میانگین گردوی تولید شده در این حالت، به چه صورت است؟
کار در کلاس (صفحۀ 85 کتاب درسی)
دانشآموزی در کنکور سراسری شرکت میکند و نتیجۀ کارنامۀ آزمون آن به شرح زیر است:
| مواد امتحانی | ریاضیات | فیزیک | شیمی | زبان انگلیسی | ادبیات و زبان فارسی | دین و زندگی |
|---|---|---|---|---|---|---|
| درصد | 71 | 65 | 80 | 52 | 95 | 100 |
| ضریب درس | 4 | 3 | 1 | 1 | 4 | 3 |
الف) متوسط درصد مواد امتحانی این دانشآموز بدون احتساب ضرایب مواد امتحانی چه عددی است؟
ب) متوسط درصد مواد امتحانی این دانشآموز با احتساب ضرایب مواد امتحانی را کامل کنید.
${\bar x_\omega } = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^6 {{\omega _i}{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^6 {{\omega _i}} }} = \frac{{4 \times 71 + ...... + ...... + ...... + ...... + 3 \times 10}}{{4 + ....... + ....... + ....... + ....... + 3}}$
پ) کدام متوسط، مناسب است؟
ب) میانه دادهها
فعالیت (صفحۀ 86 کتاب درسی)
در شکل الف افرادی را به ترتیب قد، در یک صف مرتب کردهاند و دادههای مربوط به اندازهٔ قد آنها (برحسب سانتیمتر)، بهصورت زیر میباشد.
در شکل الف در بین پنج فرد، کدام فرد از نظر قد در وسط صف قرار گرفته است؟
حال به شکل ب توجه کنید. در بین شش فرد، کدام فرد در وسط صف قرار دارد؟
همانطور که مشاهده میشود، بهراحتی نمیتوانید عدد وسط در این حالت را پیدا کنید. برای بهدست آوردن عدد وسط در این حالت مراحل زیر را انجام دهید:
الف) دو فردی که در جایگاه وسط صف قرار گرفتهاند را پیدا کنید.
ب) میانگین این دو عدد را بهعنوان عدد وسط قد این افراد بهدست آورید.
کار در کلاس (صفحۀ 87 کتاب درسی)
در یک شعبهٔ بانک تراکنشهای مالی بسیاری در یک روز انجام میگردد. یک تراکنش مالی ممکن است انتقال مبلغی از حساب پسانداز یک مشتری به حساب جاری مشتری دیگری در یک بانک باشد. این تراکنش را میتوان به دو عملیات تقسیم کرد: بدهکار کردن حساب پسانداز یک مشتری به اندازهٔ مبلغ مورد نظر و طلبکار کردن حساب جاری مشتری دیگر به اندازهٔ همان مبلغ است.
الف) فرض کنید تراکنشهای مالی در بازهٔ زمانی 8 تا 9 صبح یک شعبهٔ بانک (به میلیون تومان) به شرح زیر گردآوری شود.
10 - 8/7 - 10 - 12 - 25
- میانه، چارک اوّل و سوم مربوط به تراکنشهای مالی بر اساس دادههای جمعآوری شده را مشخص کنید.
ب) حال فرض کنید تراکنشهای مالی دیگری در بازهٔ زمانی 9 تا 10 صبح در همان شعبه بانک (به میلیون تومان) به شرح زیر گردآوری شود.
70 - 30 - 81/7 - 20 - 32 - 34
- در این حالت نیز میانه، چارک اوّل و سوم مربوط به تراکنشهای مالی بر اساس دادههای جمعآوری شده را مشخص کنید.
پ) مد یا نما دادهها
فعالیت (صفحۀ 88 کتاب درسی)
به تصاویر زیر توجه کنید. در شکل (الف)، (ب) و (پ) یک سری از حالتهای صورتک را مشاهده میکنید. تعداد این حالتها را در شکل (الف)، (ب) و (پ) در جدول زیر کامل کنید.
|
|
|
| شماره صورتکها | انواع صورتکها | شکل الف | شکل ب | شکل پ |
| 1 |
|
4 | 2 | 4 |
| 2 |
|
2 | ||
| 3 |
|
2 | ||
| 4 |
|
2 | ||
| 5 |
|
2 | ||
| 6 |
|
1 |
- در شکل الف کدام صورتک بیشتر از همه تکرار شده است؟
- در شکل ب کدام صورتک بیشتر از همه تکرار شده است؟
- در شکل پ کدام صورتک بیشتر از همه تکرار شده است؟
کار در کلاس (صفحۀ 88 کتاب درسی)
در یک مسابقهٔ پرتاب دارت، سه نفر شرکت کردهاند. بر اساس 10 پرتابی که آنها انجام دادهاند، امتیازهای زیر بهدست آمده است:
| نفر اول | 10 | 9 | 10 | 7 | 5 | 9 | 10 | 9 | 8 | 8 |
| نفر دوم | 10 | 9 | 8 | 6 | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 | 7 |
| نفر سوم | 9 | 9 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 5 | 4 | 7 |
- مد نفر اوّل چه عددی است؟
- مد نفر دوم چه عددی است؟
- مد نفر سوم چه عددی است؟
میانگین، میانه و مد دادهها، کدام معیار را انتخاب میکنید؟
کار در کلاس (صفحۀ 89 کتاب درسی)
دو کارخانهٔ تولید لامپ را در نظر بگیرید. کارخانهٔ (الف)، لامپهای کممصرف و کارخانهٔ (ب)، لامپهای پرمصرف تولید میکند. مدیر این دو کارخانه میخواهد در مورد طول عمر لامپهای تولیدی کارخانههایشان تحقیقی انجام دهد.
بر اساس دادههای سالهای گذشته در کارخانهٔ (الف) و (ب)، طول عمر پنج لامپ برحسب ماه ثبت شده است و نتایج را بهصورت زیر جمعآوری مینماید.
| لامپ انتخاب شده | اول | دوم | سوم | چهارم | پنجم |
|---|---|---|---|---|---|
| طول عمر لامپ تولید شده در کارخانه (الف) | 17 | 15 | 14 | 15 | 16 |
| طول عمر لامپ تولید شده در کارخانه (ب) | 0 | 15 | 0 | 16 | 13 |
- آیا میانگین طول عمر لامپهای تولید شده در کارخانهٔ (الف)، معیار گرایش به مرکز خوبی برای طول عمر لامپهای تولید شده کارخانهٔ (الف) است؟
- بهدلیل وجود لامپهای تولید شده با طول عمر صفر در کارخانهٔ (ب) آیا بازهم میانگین طول عمر لامپهای تولید شده در کارخانهٔ (ب)، معیار گرایش به مرکز خوبی برای طول عمر لامپهای تولید شده است؟ چه معیار گرایش به مرکزی مناسب است؟
- مدیر کارخانه بر اساس فروش سال گذشته، متوجه شده است که لامپهای کممصرف با نور سفید در منازل مردم رایج شده است. اگر او بخواهد برای امسال لامپهای کممصرف با نور سفید تولید کند، کدام معیار گرایش به مرکز، برای تعداد این لامپهای تولیدی به او کمک میکند؟
تمرین (صفحۀ 90 کتاب درسی)
1- تعداد حملههای یک تیم فوتبال در شش مسابقه گذشته بهصورت 43 ، 42 ، 45 ، 44 ، 45 ، 48 است.
میانگین تعداد حملات این تیم در شش بازی گذشته را بهدست آورید؟
2- بالاترین دما در هر یک از روزهای هفته گذشته اندازهگیری شده و نتایج زیر به دست آمده است. معدل یا میانگین دما در هفتۀ گذشته چه عددی است؟
55 ، 27 ، 29 ، 32 ، 28 ، 31 ، 29
3 ـ میانه و مد هر یک از دادههای زیر را به دست آورید؟
الف) 9 ، 9 ، 9 ، 9 ، 8
ب) 300 ، 24 ، 40 ، 50 ، 60
پ) 10 ، 3 ، 8 ، 15
ت) 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 5
ث) 23 ، 12 ، 12 ، 23
ج) 7 ، 13 ، 4 ، 7
4- نمودار زیر، نمودار میلهای مربوط به تعداد ضربات پنالتی گل شده یک بازیکن در شش جلسۀ تمرینی پنالتی است. با توجه به نمودار، میانگین، میانه و مد تعداد ضربات گل شده را بهدست آورید.
5- در جدول زیر، نمرات درس ریاضی 10 دانشآموز گردآوری شده و میانگین نمرات داده شده است. علامتهای سؤال چه اعدادیاند.
| نمرات درس ریاضی | 20 | 16 | 17 | 19 | 17/5 |
| 18 | ؟ | 18 | 15 | 16 |
میانگین نمرات = 15/65
مد نمرات = ؟
6- دادههای زیر مدتزمان مطالعۀ یک دانشآموز را در روزهای هفته نشان میدهد.
| روزهای هفته | شنبه | یکشنبه | دوشنبه | سه شنبه | چهارشنبه | پنچشنبه | جمعه |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| مدت زمان مطالعه (ساعت) | 2 | 1/5 | 2/5 | 1/5 | 2 | 3 | 3 |
این دانشآموز بهطور میانگین چند ساعت در روز، در هفتۀ گذشته مطالعه کرده است؟
7- یک شرکت بیمه برای تعیین حقّ بیمه شخص ثالث در سال آینده، نمونهای از خسارتهای پرداخت شده امسال را جمعآوری نموده است. میانگین خسارتهای پرداخت شده برابر 85 میلیون ریال به دست آمده است در صورتیکه میانه و مد آن برای این خسارتهای پرداخت شده برابر 42/2 میلیون ریال و عدد 90 میلیون ریال میباشد. به نظر شما مدیر شرکت، کدام معیار گرایش به مرکز را بهمنظور تعیین حق بیمه در سال آینده در نظر بگیرد تا اینکه این شرکت ضرر نکند؟
8- دانشآموزی در کنکور سراسری شرکت میکند و نتیجۀ کارنامه آزمون آن به شرح زیر است:
| مواد امتحانی | ریاضیات | فیزیک | شیمی | زبان انگلیسی | ادبیات و زبان فارسی | دین و زندگی |
|---|---|---|---|---|---|---|
| درصد | 53 | ؟ | 67 | 34 | 80 | 67 |
| ضریب درس | 4 | 3 | 1 | 1 | 4 | 3 |
اگر معدل موزون درصد این دانشآموز 73 باشد، درس فیزیک را چند درصد زده است؟
9- میانگین 5 دادۀ آماری 17 است، اگر دو عدد 17 و 11 را به دادههای قبلی اضافه کنیم، میانگین جدید چه عددی خواهد شد؟
10- دو دانشآموز، جدولهای چهارخانهای را بهصورت زیر رنگآمیزی کردهاند، بر اساس جدول مربوط به طیف رنگها، جدول عددی این دو شکل بهصورت زیر نشان داده شده است:
470 & 470 \\ 580 & 690 \\ \end{matrix} \right)$ |
470 & 580 \\ 690 & 690 \\ \end{matrix} \right)$ |
حال جدول عددی مربوط به این دو شکل را ابتدا باهم جمع و سپس هر یک از اعضای جدول عددی را به عدد 2 تقسیم میکنیم. جدول عددی حاصل را به دست آورده و شکل مورد نظر را با توجه به جدول طیف رنگها، به دست آورید. آیا این شکل میانگین دو شکل بالا است؟
برای پاسخ به این سؤال، کاربرد علم آمار در علوم شناختی و مغز را مطالعه کنید. عدد مربوط به طیف رنگها در جدول موجود در حاشیه نشان داده شده است.
خواندنی: کاربرد علم آمار در علوم شناختی و مغز (تفسیر تصاویر مغزی)
در شکل زیر با میانگین تصویری مغزی 10 فرد آشنا میشویم.
این تصویر از شکل زیر، برشی از یک تصویر مغزی است. رنگ قرمز نشان دهندۀ ناحیهای است که در آن فشار خون بالایی وجود دارد. این ناحیه که مشکوک به وجود تومور است با استفاده از علم آمار شناسایی و محلّ تومور است، ولی نقاط b و c بهرغم داشتن فشار خون بالا، محل تومور نیستند.
